-5)الگوریتم رقابت استعماری

الگوریتم رقابت استعماری[1] (ICA)  [47-52]الگوریتم­های بهینه­سازی تکاملی [33] است. این الگوریتم همانگونه که از نام آن بر می­آید، بر مبنای مدلسازی فرایند اجتماعی سیاسی پدیده استعمار[47] بنا نهاده شده است. از این جهت در نوع خود یک الگوریتم جدید و قابل رقابت با سایر الگوریتم­­های تکاملی از جمله الگوریتم­­های ژنتیک[32]، الگوریتم پرندگان و کلونی مورچگان و کلونی زنبور عسل و غیره می­­باشد. از جهت کارایی نیز تاکنون در حل مسائل زیادی در زمینه بهینه­­سازی در مهندسی برق، کامپیوتر، صنایع، مکانیک، اقتصاد، مدیریت و دیگر حوزه­های علم استفاده شده­است. دلیل استقبال بالا از این الگوریتم در کنار کارایی بالای آن، بیشتر به جنبه نوآوری و جدید و جذاب بودن آن برای متخصصین حوزه بهینه­سازی می­باشد.

شکل (2-7) شمای کلی از فرایند الگوریتم رقابت استعماری را نشان می­­دهد. با در نظر گرفتن الگوريتم‌هاي بهينه‌سازي مطرح شده، آن‌ چه که قابل توجه است اين است که اغلب روش‌هاي بهينه‌سازي عام مطرح شده، شبيه‌سازي کامپيوتري فرايند‌هاي طبيعي هستند. شايد يک دليل براي اين کار، ملموس بودن و سادگي فرموله کردن و درک تکامل اين فرايند‌ها است. در نقطه مقابل، در ارائه‌ي الگويتم‌هاي بهينه‌سازي، علي‌رغم توجه به تکامل زيستي انسان و ساير موجودات (الگوريتم‌هاي ژنتيک و ...)، به تکامل اجتماعي وتاريخي آن به عنوان پيچيده‌ترين و موفق‌ترين حالت تکامل، توجه چنداني نشده‌ است. در اين طرح، يک الگوريتم الهام گرفته از تکامل اجتماعي انسان، براي بهينه‌سازي، توسعه داده شده است. الگوريتم جديد معرفي شده [47] با الهام‌گيري از يک فرايند اجتماعي سياسي، نسبت به روش‌هاي مطرح شده داراي توانايي بالايي بوده و تا حد بسيار زيادي نيز، سريع مي‌باشد. شکل(2-7) شماي کلي الگوريتم توسعه داده شده موسوم به الگوريتم رقابت استعماري (ICA) را نشان مي‌دهد.

الگوريتم توسعه داده شده، همانند ساير روش‌هاي بهينه‌سازي تکاملي، با تعدادي جمعيت اوليه شروع مي‌شود. در اين الگوريتم، هر عنصر جمعيت، يک کشور ناميده مي‌شود. کشور‌ها به دو دسته مستعمره و استعمار‌گر تقسيم مي‌شوند. هر استعمارگر، بسته به قدرت خود، تعدادي از کشور‌هاي مستعمره را به سلطه خود درآورده و آن‌ها را کنترل مي‌کند. سياست جذب و رقابت استعماري، هسته اصلي اين الگوريتم را تشکيل مي‌دهند. مطابق سياست جذب که به صورت تاريخي، توسط کشور‌هاي استعمارگري همچون فرانسه و انگليس، در مستعمراتشان اعمال مي‌شد، کشورهاي استعمارگر با استفاده از روش‌هايي همچون احداث مدارس به زبان خود، سعي در از خود بي خود کردن کشور مستعمره، با از ميان بردن زبان کشور مستعمره و فرهنگ و رسوم آن داشتند. در ارائه اين الگوريتم، اين سياست با حرکت دادن مستعمرات يک امپراطوري، مطابق يک رابطه خاص صورت مي‌پذيرد. شکل (2-8) اين حرکت را نشان مي‌دهد.

اگر در حين حرکت، يک مستعمره، نسبت به استمارگر، به موقعيت بهتري برسد، جاي آن دو با هم عوض مي‌شوند. در ضمن، قدرت کل يک امپراطوري به صورت مجموع قدرت کشور استعمارگر به اضافه درصدي از قدرت ميانگين مستعمرات آن تعريف مي‌شود.

در طي رقابت استعماري، امپراطوري‌هاي ضعيف، به تدريج قدرت خود را از دست داده و به مرور زمان با تضعيف شدن از بين مي‌روند. رقابت استعماري باعث مي‌شود که به مرور زمان، به حالتي برسيم که در آن تنها يک امپراطوري در دنيا وجود دارد که آن را اداره مي‌کند. اين حالت زماني است که الگوريتم رقابت استعماري با رسيدن به نقطه بهينه تابع هدف، متوقف مي‌شود. شکل (2-8)  شماي کلي رقابت استعماري را نشان مي‌دهد.

مزاياي الگوريتم توسعه داده شده:

الگوريتم توسعه داده شده،[47] در وهله اول با داشتن يک ديدگاه کاملاً نو به مبحث بهينه‌سازي، پيوندي جديد ميان علوم انساني و اجتماعي از يک سو و علوم فني و رياضي از سوي ديگر، برقرار مي‌کند. ارتباط ميان اين دو شاخه از علم به گونه‌اي مي‌باشد که غالباً رياضيات به عنوان ابزاري قوي و دقيق در خدمت علوم انساني کلي نگر قرار گرفته و به درک و تحليل نتايج آن کمک مي‌کند. اما الگوريتم توسعه داده شده بر خلاف معمول، نقطه‌ي قوت علوم انساني و اجتماعي، يعني کلي‌نگري و وسعت ديد آن را به خدمت رياضيات درآورده و از آن به عنوان ابزاري براي درک بهتر رياضيات و حل بهتر مسائل رياضي استفاده مي‌کند. بنابراين حتي بدون در نظر گرفتن قابليت‌هاي رياضي و عملي روش توسعه داده شده، پيوند ايجاد شده ميان اين دو شاخه به ظاهر جدا از هم، به عنوان يک پژوهش ميان رشته‌اي، در نوع خود داراي ارزش بسياري مي‌باشد.

مزاياي الگوريتم اجتماعي پيشنهادي را مي‌توان به صورت زير خلاصه کرد.

-           نو بودن ايده‌ي پايه‌اي الگوريتم، به عنوان اولين الگوريتم بهينه‌سازي مبتني بر يک فرايند اجتماعي‌ـ‌سياسي

-         توانايي بهينه‌سازي و میزان همگرایی هم‌تراز و حتي بالاتر در مقايسه با الگوريتم‌هاي مختلف بهينه‌سازي، در مواجهه با انواع مسائل بهينه‌سازي

-         سرعت مناسب يافتن جواب بهينه(کمینه)

2-7) فلوچارت الگوریتم

شکل (2-9) فلوچارت الگوريتم رقابت استعماري را نشان مي‌دهد. همانند ديگر الگوريتم‌هاي تکاملي، اين الگوريتم، نيز با تعدادي جمعيت اوليه تصادفي که هر کدام از آنها يک "کشور" ناميده مي‌شوند؛ شروع مي‌شود. تعدادي از بهترين عناصر جمعيت (معادل نخبه‌ها در الگوريتم ژنتيک) به عنوان امپرياليست[2] انتخاب مي‌شوند. باقيمانده جمعيت نيز به عنوان مستعمره[3]، در نظر گرفته مي‌شوند. استعمارگران بسته به قدرتشان، اين مستعمرات را با يک روند خاص که در ادامه مي‌آيد؛ به سمت خود مي‌کشند. قدرت کل هر امپراطوري، به هر دو بخش تشکيل دهنده آن يعني کشور امپرياليست (به عنوان هسته مرکزي) و مستعمرات آن، بستگي دارد. در حالت رياضي، اين وابستگي با تعريف قدرت امپراطوري به صورت مجموع قدرت کشور امپرياليست، به اضافه در صدي از ميانگين قدرت مستعمرات آن، مدل شده است.

با شکل‌گيري امپراطوري‌هاي اوليه، رقابت امپرياليستي ميان آنها شروع مي‌شود. هر امپراطوري‌اي که نتواند در رقابت استعماري، موفق عمل کرده و بر قدرت خود بيفزايد (و يا حداقل از کاهش نفوذش جلوگيري کند)، از صحنه رقابت استعماري، حذف خواهد شد. بنابراين بقاي يک امپراطوري، وابسته به قدرت آن در جذب مستعمرات امپراطوري‌هاي رقيب، و به سيطره در آوردن آنها خواهد بود. در نتيجه، در جريان رقابت‌هاي امپرياليستي، به تدريج بر قدرت امپراطوري‌هاي بزرگتر افزوده شده و امپراطوري‌هاي ضعيف‌تر، حذف خواهند شد. امپراطوري‌ها براي افزايش قدرت خود، مجبور خواهند شد تا مستعمرات خود را نيز پيشرفت دهند.

با گذشت زمان، مستعمرات، از لحاظ قدرت به امپراطوري‌ها نزديک‌تر خواهند شد و شاهد يک نوع همگرايي خواهيم بود. حد نهايي رقابت استعماري، زماني است که يک امپراطوري واحد در دنيا داشته باشيم، با مستمراتي که از لحاظ موقعيت، به خود کشور امپرياليست، خيلي نزديک هستند.در ادامه مباحث اين فصل، بخش‌هاي مختلف الگوريتم، مورد بررسي قرار مي‌گيرند.

2-8) شکل دهي امپراطوري‌هاي اوليه

در بهينه‌سازي، هدف يافتن يک جواب بهينه بر حسب متغير‌هاي مسئله، است. يک آرايه از متغير‌هاي مسئله را که بايد بهينه‌ شوند، ايجاد مي‌کنيم. در الگوريتم ژنتيک اين آرايه، کروموزوم[4] ناميده مي‌شود. در اينجا نيز آن را يک کشور مي‌ناميم. در يک مسئله‌ي بهينه‌سازي، يک کشور، يک آرايه‌ي  است و p پارامترهای مربوط به کشورها است. اين آرايه به صورت رابطه(2-7) تعريف مي‌شود.

مقادير متغير‌ها در يک کشور، به صورت اعداد اعشاري نمايش داده مي‌شوند. از ديدگاه تاريخي‌ـ‌فرهنگي، اجزاي تشکيل دهنده يک کشور را مي‌توان ويژگي­هاي اجتماعي– سياسي آن کشور، همچون فرهنگ، زبان، ساختار اقتصادي و ساير ويژگي‌ها در نظر گرفت. شکل (2-10) اين مسئله را به خوبي نشان مي‌دهد. مطابق اين شکل متغيرهاي مجهول تابع هزينه که ما در طي فرايند بهينه‌سازي به دنبال آنها مي‌گرديم، در نگاه اجتماعي‌ـ‌سياسي ويژگي‌هاي تاريخي و فرهنگي‌اي هستند که يک کشور را به نقطه مينيمم تابع هزينه رهنمون مي‌سازند. در حقيقت در حل يک مسئله بهينه‌سازي توسط الگوريتم معرفي شده، ما به دنبال بهترين کشور (کشوري با بهترين ويژگي هاي اجتماعي‌ـ‌سياسي) هستيم. يافتن اين کشور در حقيقت معادل يافتن بهترين پارامترهاي مسئله است که کمترين مقدار تابع هزينه را توليد مي‌کنند.

هزينه‌ي يک کشور با ارزيابي تابع هزینه  در متغير‌هاي  يافته مي‌شود. بنابراين

الگوريتم معرفي شده در اين تحقیق، با توليد يک دسته اوليه از اين ضرايب و دسته بندي آنها در قالب امپراطوري‌ها و اعمال سياست جذب از طرف استعمارگران به روي مستعمرات و همچنين با ايجاد رقابت استعماري ميان امپراطوريها به جستجوي بهترين کشور مي‌پردازد. تابع هزینه تعریف شده برای این تحقیق یعنی تعیین زوایای بازوی روباتها در حرکت معکوس در جدول (4-1) تعریف شده است.

براي شروع الگوريتم، تعداد  کشور اوليه (برای حرکت معکوس زوایای بازوها را در محدوده جدول (2-1)) ايجاد مي‌کنيم. تا، از بهترين اعضاي اين جمعيت (کشورهاي داراي کمترين مقدار تابع هزينه) را به عنوان امپرياليست انتخاب مي‌کنيم. باقيمانده آنها  تا از کشورها، مستعمراتي را تشکيل مي‌دهند که هرکدام به يک امپراطوري تعلق دارند. درحل مسئله حرکت معکوس روبات­ها زوایای تولید شده در محدوده جدول (2-1) وماتریس (2-9) بین کران پایین و بالا، کشورهای ما برای بهینه­سازی خواهند بود. تعداد کشورها (N) در این مسئله برابر با 100 درنظرگرفته شده­است. هزینه هر زاویه بوسیله تابع هزینه تعریف شده درجدول (4-1) یا می تواند بصورت تصادفی برای هر زاویه محاسبه می­شود. براي شروع الگوريتم بايد تعدادي از اين کشورها (به تعداد کشورهاي اوليه الگوريتم) ايجاد شوند.  بنابراين ماتريس اوليه کل کشورها در محدوده جدول(2-1) بصورت تشکيل مي‌شود.

براي تقسيم مستعمرات اوليه بين امپريالست‌ها، به هر امپرياليست، تعدادي از مستعمرات را که اين تعداد، متناسب با قدرت آن است، تخصیص مي‌دهيم. براي انجام اين کار، با داشتن هزينه همه امپرياليست‌ها، هزينه نرماليزه آن‌ها را به صورت رابطه(2-10) در نظر مي‌گيريم.

که در آن ، هزينه امپريالست nام،  بيشترين هزينه ميان امپرياليست‌ها و ، هزينه نرماليزه شده اين امپرياليست، مي‌باشد. هر امپرياليستي که داراي هزينه بيشتري باشد (امپرياليست ضعيف­تري باشد)، داراي هزينه نرماليزه کمتري خواهد بود. با داشتن هزينه نرماليزه، قدرت نسبي نرماليزه‌ي هر امپرياليست، به صورت رابطه(2-11) محاسبه شده و بر مبناي آن، کشورهاي مستعمره، بين امپريالسيت‌ها تقسيم مي‌شوند.

از يک ديد ديگر، قدرت نرماليزه شده يک امپرياليست، نسبت مستعمراتي است که توسط آن امپرياليست اداره مي‌شود. بنابراين تعداد اوليه‌ي مستعمرات يک امپرياليست برابر رابطه (2-12)خواهد بود.

که در آن ، تعداد اوليه مستعمرات يک امپراطوري و  نيز تعداد کل کشورهاي مستعمره موجود در جمعيت کشورهاي اوليه است.  نيز تابعي است که نزديک‌ترين عدد صحيح به يک عدد اعشاري را مي‌دهد. با در نظر گرفتن  براي هر امپراطوري، به اين تعداد از کشورهاي مستعمره اوليه را به صورت تصادفي انتخاب کرده و به امپرياليست nام تخصیص مي‌دهيم. با داشتن حالت اوليه تمام امپراطوري‌ها، الگوريتم رقابت استعماري شروع مي‌شود. روند تکامل در يک حلقه قرار دارد که تا برآورده شدن يک شرط توقف، ادامه مي‌يابد.

شکل(2-11) چگونگي شکل‌گيري امپراطوري‌هاي اوليه را نشان مي‌دهد. همانگونه که در اين شکل نشان داده شده است. امپراطوري‌هاي بزرگتر، تعداد بيشتري مستعمره دارند. در اين شکل، امپريالست شماره 1 قوي‌ترين امپراطوري را ايجاد کرده است و بيشترين تعداد مستعمرات را دارد.

2-9) مدل‌سازي سياست جذب: حرکت مستعمره‌ها به سمت امپرياليست

سياست همگون‌سازي[5] (جذب) با هدف تحليل فرهنگ و ساختار اجتماعي مستعمرات در فرهنگ حکومت مرکزي انجام مي‌گرفت. با در نظر گرفتن شيوه نمايش يک کشور در حل مسئله بهينه‌سازي، در حقيقت اين حکومت مرکزي با اعمال سياست جذب سعي داشت تا کشور مستعمره را در راستاي ابعاد مختلف اجتماعي سياسي به خود نزديک کند. اين بخش از فرايند استعمار در الگوريتم بهينه‌سازي، به صورت حرکت مستعمرات به سمت کشور امپرياليست، مدل شده است. شکل (2-12)، شماي کلي اين حرکت را نشان مي‌دهد.

که در آن  عددي بزرگتر از يک و نزديک به 2 مي‌باشد. يک انتخاب مناسب مي‌تواند  باشد. وجود ضريب  باعث مي‌شود تا کشور مستعمره در حين حرکت به سمت کشور استعمارگر، از دو جهت‌ مختلف به آن نزديک شود. که می توان مقدارx  جدید یعنی موقعیت جدید x را با استفاده از موقعیت قبلی آن  بوسیله رابطه( 2-14) بصورت زیردرنظرگرفت. بردارV جهت حرکت آن را به سمت امپریالیست وU تابع توزیع یکنواخت بین مقدار0 تا  و موقعیت جدید کلونی و  موقعیت قبلی کلونی را نشان می­دهد.

در اين رابطه،  پارامتري دلخواه مي‌باشد که افزايش آن باعث افزايش جستجوي اطراف امپرياليست شده و کاهش آن نيز باعث مي‌شود تا مستعمرات تا حد ممکن، به بردار واصل مستعمره به استعمارگر، نزديک حرکت کنند.برای اینکار می­توان روشهای مختلفی را در نظر گرفت که یکی از روشها در نظر گرفتن برداری مانند شکل (2-13) است و در این صورت می توان رابطه (2-14) را بصورت رابطه (2-16) در نظر گرفت.

که اندازه   می تواند به یکی از سه حالت زیر در نظر گرفته شود.

=  

با در نظر گرفتن واحد راديان براي ، عددي نزديک به  در اکثر پياده‌سازي­ها، انتخاب مناسبي بوده است.

2-10)  انقلاب؛ تغییر ناگهانی در ویژگیهای سیاسی- اجتماعی کشورها

     انقلاب تغییر اساسی در قدرت یا ساختار سازمانی کشورها در زمان کوتاهی در موقعیت آنها انجام می­شود.

در الگوریتم رقابت استعماری انقلاب باعث تغییر ناگهانی در ویژگیهای برخی از کشورها می­شود. در الگوریتم رقابت استعماری بجای اینکه جذب توسط امپرياليست و در جهت بردار واصل بین امپریالیست و کلونی انجام شود، کلونی­ها بطورتصادفی موقعیت خود را تغییر می­دهند و با جابجایی تصادفی یک کشور مستعمره به یک موقعیت تصادفی جدید مدلسازی می­شود. بعنوان مثال در شکل (2-15) انقلاب در محور فرهنگ انجام شده است. انقلاب و تغییر تحول باعث بسط الگوریتم شده و از همگرایی بهینه­سازی محلی الگوریتم جلوگیری می­کند. مقدار نرخ تغییر و تحول در الگوریتم نشان دهنده درصد کلونی­هایی از کل کلونی­ها که در موقعیت آنها تغییر حاصل می­شود. انتخاب مقدارعددی بزرگتر برای نرخ تغییر و تحول از اندازه توان بسط الگوریتم کاسته و همچنین باعث کاهش نرخ همگرایی آن می­شود. در این تحقیق ما مقدار نرخ تغییر و تحول را برابر با 0.3 در نظرگرفته­ایم یعنی30 درصد از کلونی­ها می­توانند بطورتصادفی تغییرموقعیت دهند. تغییر و تحول بر طبق فرمول­ (2-17) انجام می­گیرد.

2-11)جابجايي موقعيت مستعمره و امپرياليست

سياست جذب در عين نابودي ساختارهاي اجتماعي سياسي کشور مستعمره در بعضي موارد نتايج مثبتي را نيز براي آنها در پي داشت. بعضي از کشور در نتيجه اعمال اين سياست به نوعي از خودباوري عمومي دست يافتند و پس از مدتي همان تحصيلکرده‌گان (به عبارت ديگر جذب شدگان فرهنگ استعماري) بودند که به رهبري ملت خود براي رهايي از چنگال استعمار پرداختند. نمونه هاي فراواني از اين موارد را مي‌توان در مستعمرات انگليس و فرانسه يافت. از سوي ديگر نگاهي به فراز و نشيب چرخش قدرت در کشور‌ها به خوبي نشان مي‌دهد که کشور هايي که زماني در اوج قدرت سياسي – نظامي بودند، پس از مدتي سقوط کردند و در مقابل کشورهايي سکان قدرت را در دست گرفتند که زماني هيچ قدرتي در دست نداشنتد. در مدلسازي اين واقعه تاريخي در الگوريتم معرفي شده به اين صورت عمل شده است که در حين حرکت مستعمرات به سمت کشور استعمارگر، ممکن بعضي از اين مستعمرات به موقعيتي بهتر از امپرياليست برسند (به نقاطي در تابع هزينه برسند که هزينه کمتري را نسبت به مقدار تابع هزينه در موقعيت امپرياليست، توليد مي‌کنند.) در اين حالت، کشور استعمارگر و کشور مستعمره، جاي خود را با همديگر عوض کرده و الگوريتم با کشور استعمارگر در موقعيت جديد ادامه يافته و اين اين بار اين کشور امپرياليست جديد است که شروع به اعمال سياست همگون‌سازي بر مستعمرات خود مي‌کند. تغيير جاي استعمارگر و مستعمره، در شکل (2-16) نشان داده شده است. در اين شکل، بهترين مستعمره‌ي امپراطوري، که هزينه‌اي کمتر از خود امپرياليست دارد، به رنگ تيره‌تر، نشان داده شده است. شکل(2-17)، کل امپراطوري را پس از تغيير موقعيت‌ها، نشان مي‌دهد.

2-11) قدرت کل يک امپراطوري

قدرت يک امپراطوري برابر است با قدرت کشور استعمارگر، به اضافه درصدي از قدرت کل مستعمرات آن. بدين ترتيب براي محاسبه هزينه کل يک امپراطوري با استفاده از رابطه (2-18) داريم.

ه در آن  هزينه کل امپراطوري nام و  عددي مثبت است که معمولاً بين صفر و يک و نزديک به صفر در نظر گرفته مي‌شود. کوچک در نظر گرفتن ، باعث مي‌شود که هزينه کل يک امپراطوري، تقريباً برابر با هزينه حکومت مرکزي آن (کشور امپرياليست)، شود و افزايش  نيز باعث افزايش تاثير ميزان هزينه مستعمرات يک امپراطوري در تعيين هزينه کل آن مي‌شود. در حالت کلی  در اکثر پياده‌سازي به جوابهاي مطلوبي منجر شده است.

2-12) رقابت امپرياليستي

همانگونه که قبلاً نيز بيان شد، هر امپراطوري‌اي که نتواند بر قدرت خود بيفزايد و قدرت رقابت خود را از دست بدهد، در جريان رقابت‌هاي امپرياليستي، حذف خواهد شد. اين حذف شدن، به صورت تدريجي صورت مي‌پذيرد. بدين معني که به مرور زمان، امپراطوري‌هاي ضعيف، مستعمرات خود را از دست داده و امپراطوري‌هاي قويتر، اين مستعمرات را تصاحب کرده و بر قدرت خويش مي‌افزايند. براي مدل کردن اين واقعيت‌، فرض مي‌کنيم که امپراطوري در حال حذف، ضعيف‌ترين امپراطوري موجود است. بدين ترتيب، در تکرار الگوريتم، يکي يا چند تا از ضعيف‌ترين مستعمرات ضعيف‌ترين امپراطوري را برداشته و براي تصاحب اين مستعمرات، رقابتي را ميان کليه امپراطوري‌ها ايجاد مي‌کنيم. مستعمرات مذکور، لزوماً توسط قويترين امپراطوري، تصاحب نخواهند شد، بلکه امپراطوري­‌هاي قويتر، احتمال تصاحب بيشتري دارند. شکل (2-18) شماي کلي اين بخش از الگوريتم را نشان مي‌دهد.

در اين شکل امپراطوري شماره 1 به عنوان ضعيف‌ترين امپراطوري در نظر گرفته شده و يکي از مستعمرات آن در معرض رقابت امپرياليستي قرار گرفته است و امپراطوري­هاي 2 تا N براي تصاحب آن با هم رقابت مي‌کنند. براي مدل‌سازي رقابت ميان امپراطوري‌ها براي تصاحب اين مستعمرات، ابتدا احتمال تصاحب هر امپراطوري (که متناسب با قدرت آن امپراطوري مي‌باشد)، را با در نظر گرفتن هزينه کل امپراطوري، به ترتيب رابطه (2-19) محاسبه مي‌کنيم. ابتدا از روي هزينه کل امپراطوري، هزينه کل نرماليزه شده آن را تعيين مي‌کنيم.

در اين رابطه ، هزينه کل امپراطوري nام و  نيز، هزينه کل نرماليزه شده آن امپراطوري مي‌باشد. هر امپراطوري‌ که  کمتري داشته باشد  بيشتري خواهد داشت. در حقيقت  معادل هزينه کل يک امپراطوري و  معادل قدرت کل آن مي‌باشد. امپراطوري با کمترين هزينه، داراي بيشترين قدرت است. با داشتن هزينه کل نرماليزه شده، احتمال (قدرت) تصاحب مستعمره رقابت، توسط هر امپراطوري، به صورت رابطه (2-20) محاسبه مي‌شود.

با داشتن احتمال تصاحب هر امپراطوري، مکانيزمي همانند چرخه رولت[6] در الگوريتم ژنتيک مورد نياز است تا مستعمره مورد رقابت را با احتمال متناسب با قدرت امپراطوريها در اختيار يکي از آنها قرار دهد. در کنار امکان استفاده از چرخ رولت موجود، در اين نوشتار مکانيزم جديدي براي پياده‌سازي اين فرايند معرفي شده است که نسبت به چرخه رولت داراي هزينه محاسباتي بسيار کمتري مي‌باشد. زيرا عمليات نسبتاً زياد مربوط به محاسبه تابع توزيع جمعي احتمال[7] را که در چرخه رولت مورد نياز است را حذف مي‌کند و فقط به داشتن تابع چگالي احتمال[8] نياز دارد. در ادامه مکانيزم مطرح شده براي اختصاص متناسب با احتمال مستعمره مورد رقابت به امپراطوري هاي رقيب توضيح داده مي‌شود.

با داشتن احتمال تصاحب هر امپراطوري، براي اينکه مستعمرات مذکور را به صورت تصادفي، ولي با احتمال وابسته به احتمال تصاحب هر امپراطوري، بين امپراطوري‌ها تقسيم کنيم؛ بردارP را از روي مقادير احتمال فوق، به صورت رابطه(2-21) تشکيل ميدهيم.

بردار P داراي سايز  مي‌باشد و از مقادير احتمال تصاحب امپراطوري‌ها تشکيل شده است. سپس بردار تصادفيR رابطه (2-22)، هم سايز با بردارP را تشکيل مي‌دهيم. آرايه‌هاي اين بردار، اعدادي تصادفي با توزيع يکنواخت در بازه [0,1] مي‌باشند.

با داشتن بردارD، مستعمرات مذکور را به امپراطوري‌ مي‌دهيم که انديس مربوط به آن در بردارD بزرگتر از بقيه مي‌باشد. امپراطوري‌اي که بيشترين احتمال تصاحب را داشته باشد، با احتمال بيشتري انديس مربوط به آن در بردارD، بيشترين مقدار را خواهد داشت. عدم نياز به محاسبه CDF باعث مي‌شود که اين مکانيزم نسبت به چرخه رولت با سرعت به مراتب بيشتري عمل کند. مکانيزم مطرح شده نه تنها مي‌تواند در اختصاص مستعمره به امپراطوري بر حسب احتمال تصاحب آنها مفيد باشد، بلکه به عنوان يک مکانيزم انتخاب بر حسب احتمال مي‌تواند جايگزين چرخه رولت در الگوريتم براي انتخاب امپراطوري شود و سرعت اجراي عمليات در آن را تا حد زيادي افزايش دهد.

2-13)سقوط­امپراطوري‌هاي ضعيف

 در جريان رقابت‌هاي امپرياليستي، خواه ناخواه، امپراطوريهاي ضعيف به تدريج سقوط کرده و مستعمراتشان به دست امپراطوري‌هاي قوي‌تر مي‌افتد. شروط متفاوتي را مي‌توان براي سقوط يک امپراطوري در نظر گرفت. در الگوريتم پيشنهاد شده، يک امپراطوري زماني حذف شده تلقي مي‌شود که مستعمرات خود را از دست داده باشد. شکل(2-19) اين مسئله را به خوبي نشان مي‌دهد. در اين شکل، امپراطوري شماره 4 به علت از دست دادن کليه مستعمراتش، ديگر قدرتي براي رقابت ندارد و بايد از ميان بقيه امپراطوري‌ها حذف شود.

2-14) همگرايي

الگوريتم مورد نظر تا برآورده شدن يک شرط همگرايي، و يا تا اتمام تعداد کل تکرارها، ادامه مي‌يابد. پس از مدتي، همه امپراطوري‌ها، سقوط کرده و تنها يک امپراطوري خواهيم داشت و بقيه کشورها تحت کنترل اين امپراطوري واحد، قرار مي‌گيرند. در اين دنياي ايده‌آل جديد، همه‌ي مستعمرات، توسط يک امپراطوري واحد اداره مي‌شوند و موقعيت‌ها و هزينه‌هاي مستعمرات، برابر با موقعيت و هزينه کشور امپرياليست است. در اين دنياي جديد، تفاوتي، نه تنها، ميان مستعمرات، بلکه ميان مستعمرات و کشور امپرياليست، وجود ندارد. به عبارت ديگر، همه‌ي کشورها، در عين حال، هم مستعمره و هم استعمارگرند. در چنين موقعيتي رقابت امپرياليستي به پايان رسيده و به عنوان يکي از شروط توقف الگوريتم متوقف مي‌شود.

شماي کلي الگوريتم به صورت گرافيکي در شکل (2-20) نيز نشان داده شده است. مطابق اين شکل، الگوريتم با جمعيت اوليه تصادفي و تشکيل امپراطوري هاي اوليه آغاز شده و در يک چرخه سياست جذب و رقابت امپرياليستي تکرار مي‌شوند.